Mathématiques - 2017

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Pays : Sénégal Année : 2017 Épreuve : Mathématiques, 1 er Groupe Examen : BFEM Durée : 2 h Coefficient : 4

EXERCICE 1 (05 points)

On donne trois réels a, b et c tels que : a = 7 - 5√2, b = -7 - 5√2 et c = -7 + 5√2.

1. Démontre que le réel a est l’inverse du réel b. 2. Justifie que a et c sont opposés. 3. Démontre que : � � − � � =� 2 +� 2 . 4. Calcule � 2 puis déduis-en une écriture simplifiée du réel w = √99−70√2.

EXERCICE 2 (05 points)

Les notes des 160 candidats à un concours sont consignées dans le tableau suivant : Notes [10 ; 12[ [12 ; 14[ [14 ; 16[ [16 ; 18[ [18 ; 20[ Fréquences 0,3 x 0,2 0,15 y

1. Donne l’interprétation de la valeur 0,3 fréquence de la classe [10 ; 12[. 2. Calcule x et y sachant que 25% des élèves ont une note supérieure ou égale à 16. 3. On donne : x = 0,25 et y = 0,1. a) Calcule la moyenne des notes. b) Construis le diagramme des fréquences cumulées décroissantes.

EXERCICE 3 (05 points)

ABC est un triangle isocèle en A. La hauteur issue de A coupe le segment [BC] en H. On donne : BC = 6 cm et AH = 4 cm. Soit M un point du segment [BH] tel que : BM = x. La parallèle à la droite (AH) et passant par M coupe la droite (AB) en P et la droite (AC) en Q.

1. Fais la figure et calcule BH. 2. Montre que ���� ���� = � 3 et déduis-en MP en fonction de x. 3. Exprime MC en fonction de x. 4. Montre que MQ = 4 3 (6−��). 5. Pour quelles valeurs de x a-t-on MQ = 3MP ? 6. Quelle serait alors la position du point P sur le segment [AB] ?

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EXERCICE 4 (05 points)

On donne les formules de calcul de volume de solides ci-dessous : Volume d’un cône de révolution : �� �ô��= 1 3 ×��×�� 2 ×ℎ Volume d’une boule : �� �������= 4 3 ×��×�� 3

Volume d’un cylindre : �� �����������= ��×�� 2 ×ℎ R désigne le rayon et h la hauteur.

1. Calcule le volume exact de chacun de ces trois solides pour h = R = 1 m. 2. Exprime le volume d’une boule et celui d’un cylindre en fonction du volume d’un cône de révolution pour R = h. 3. Un récipient servant à recueillir de l’eau de pluie est constitué d’un cylindre de rayon R = 50 cm ouvert à sa base supérieure et d’un cône de révolution situé à l’intérieur de ce cylindre. Le cône et le cylindre ont la même hauteur et la base du cône coïncide avec la base inférieure fermée du cylindre (voir figure ci-contre).

Exprime le volume de ce récipient en fonction du volume du cylindre.