Page 1 sur 3
Pays : Sénégal Année : 2017 Épreuve : Mathématiques Examen : BAC, Séries S1-S3 Durée : 4 h Coefficient : 8
EXERCICE 1 (05 points) ABCEDFGH est un cube d’arête 1. On rapporte l’espace au repère orthonormé direct (A ; ��⃗⃗⃗⃗⃗ ,��⃗⃗⃗⃗⃗ ,��⃗⃗⃗⃗⃗ ). 1. a) Déterminer les coordonnées du vecteur ��⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀���⃗⃗⃗⃗⃗ . b) En déduire une équation cartésienne du plan (BGD). c) Vérifier que la droite (EC) est orthogonale au plan (BGD). 2. Donner une équation de la sphère (S) de centre C et tangente au plan (BGD). 3. À tout α appartenant à l’intervalle [0 ; 1] on associe le point M de coordonnées (α, α, 1 – α). a) Montrer que M est un point du segment [EC]. b) Montrer que la distance du point M à la droite (BD) est égale à √3� 2 −4�+ 3 2 . c) Déterminer α pour que la distance de M à la droite (BD) soit minimale. Soit L le point associé à cette valeur de α. d) Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BGD. 4. Soit h l’homothétie de centre E et de rapport k ϵ [0 ; 1]. a) Donner l’expression analytique de h. b) Vérifier que : h(C) = M. c) Déterminer une équation de (S’) image de (S) par h.
EXERCICE 2 (04 points) Soit a un entier naturel non nul et(�� �) ���ℕ la suite définie par : �� �=�����(��,�). 1. a) Pour a = 15, calculer les 3 premiers termes de la suite (�� �). b) Pour a = 4, soient m et n des entiers naturels tels que : �� �=�� �=2. Montrer que : �� �+�=4. 2. a) Soit b un entier naturel. Démontrer que pour tout entier relatif q, on a : pgcd(a, b) = pgcd(a, b – qa). b) Calculer �� 0 et �� ��. c) Démontrer que : �� �+��=�� �. Quelle propriété de la suite (�� �) a-t-on mise en évidence ? 3. Pour a = 15, calculer �� � avec ��=15 21 +2.
Page 2 sur 3
PROBLÈME (11 points) Le plan orienté P est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; � ,� ) (unité graphique 4 cm). n étant un entier naturel non nul, on s’intéresse aux solutions dans ℝ de l’équation d’inconnue x, (� �)∶�+� �� −��=0. Soit � � la fonction définie sur ℝ par : � �(�)=�+� �� −��. On note � � � la courbe représentative de � � dans le repère.
Partie A 1. a) Vérifier que pour tout réel x strictement positif, ln(x) – x < 0. b) Montrer que l’équation (� �) possède une solution unique �� � et que �� � appartient à l’intervalle ]ln � 2 ; ln(n)]. c) En déduire la limite en +∞ de : �� � ; ���� � et ���� ln (�) . 2. Dans cette question et celles qui suivent, on pourra au besoin se servir de l’équivalence suivante : ∀ � �� ℝ,�+� �� −��=0 ⟺ � �� =��−�. a) Calculer la limite en +∞ de � ����+1 � ���� . Montrer alors que (�� �+1−�� �) a pour limite 0. b) À l’aide des variations de l’application � �, étudier celles de la suite (�� �). c) On note � � l’aire du domaine plan délimité par les droites d’équations �=�� �+1, �=�� �, l’axe des abscisses et la courbe � � � . Montrer que : � �= 1 2 (�� �+1 2 −�� � 2 )−(��+1)(�� �+1−�� �)+1. d) Vérifier que pour tout x appartenant à l’intervalle fermé d’extrémités �� �+1 et �� �, on a : 0 ≤ � �(�) ≤ 1. En déduire la limite de � �. 3. a) En utilisant la définition de la dérivée d’une fonction en un point, vérifier qu’il existe une fonction �� définie dans un intervalle ouvert contenant 0 telle que pour tout h dans cet intervalle, on ait : ln(1 + h) = h + h��(ℎ) et lim ℎ→0 ��(ℎ)=0 b) On pose : � �= ���� ln (�) −1, c’est-à-dire : �� �=ln(��)+� �ln (��). Quelle est la limite de � � ? c) Déterminer une suite (� �) telle que : �� �=ln(��)+ln (1+� �). Déduire alors de la question 3. a) qu’il existe une suite � � ayant pour limite 0 telle que : �� �=ln(��)− ln (�) � +� � ln (�) � .
Page 3 sur 3
Partie B Dans cette partie, on s’intéresse à �� 2. D’après la première partie, �� 2 appartient à l’intervalle [0 ; ln2]. On note g l’application de [0 ; 1] dans ℝ telle que ∀ � �� [0 ; 1], g(x) = ln(2 – x) et on pose b = 2 3 ����2 et a = g(b). 1. a) Montrer que �� 2 est le seul point fixe de g et que �� 2 appartient à l’intervalle I = [a ; b]. b) Prouver que g est dérivable sur I et ∀ � �� ��,|� ′ (�)|≤ |� ′ (�)|. Énoncer clairement le théorème qui permet d’en déduire que : ∀ �,� �� ��,|�(�)−�(�)|≤ |� ′ (�)||�−�|. c) Vérifier que : �(��)⊂��. 2. On pose, � 0=� et pour tout entier naturel n, � �+1=�(� �). a) Démontrer que la suite (� �) est bien définie (c’est-à-dire démontrer que pour tout entier naturel n, � � appartient à l’ensemble de définition de g) et que pour tout entier naturel n, � � appartient à I. b) Démontrer par récurrence que : ∀ �� �� ℕ,|� �−�� 2 | ≤ |� ′ (�)| � (b - a). En déduire que la suite (� �) est convergente et calculer sa limite. c) Quelle valeur suffit-il de donner à n pour que � � soit une valeur approchée de �� 2 à 10 −3 ? 3. Représenter sur un même graphique, les restrictions de g et � 2 à l’intervalle [0 ; 1], le domaine � 2, la droite d’équation y = x, les points de coordonnées respectives (a, 0), (b, 0), (�� 2,0), (�� 3,0).