Mathématiques L1/L2 - 2018

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
OFFICE DU BACCALAUREAT
Téléfax (221) 824 65 81 - Tél. : 824 95 92 - 824 65

01 G 22 A 18
Durée : 3 heures
Séries : L2 - L1 - L1a - L1b - L'1 - LA - Coef. 2
Epreuve du 1^er groupe

MATHEMATIQUES

Exercice 1 (05 points)

Un porte-monnaie contient trois pièces de 100f CFA, deux pièces de 50f CFA et une pièce de 25f CFA.
On tire simultanément deux pièces du porte-monnaie et on considère le gain obtenu.

1. Recopier et compléter le tableau des gains ci-dessous : (1 pt)

   Pièces tirées		100f CFA et 50f CFA
   Gain obtenu en f CFA	200	150

2. Calculer la probabilité de chacun des événements ci-dessous :
   • A « Avoir un gain de 200f CFA. » (1 pt)
   • B « Avoir deux pièces de même valeur ». (1 pt)
   • C « Avoir un gain égal au moins à 150f CFA ». (1 pt)
   • D « Avoir un gain égal au plus à 150f CFA ». (1 pt)

Exercice 2 (05 points)

Soit la fonction numérique \(h\) définie par \(h(x) = \frac{2e^x + 1}{e^x + 1}\).

1. Montrer que le domaine de définition \(D_h\) de \(h\) est \(\mathbb{R}\). (1 pt)
2. Montrer que pour tout \(x \in D_h\), \(h(x) = 1 + \frac{e^x}{e^x + 1}\). (1 pt)
3. Soit la fonction \(K\) définie sur \(\mathbb{R}\), par \(K(x) = x + \ln(e^x + 1)\).
   Montrer que \(K\) est une primitive de \(h\) sur \(\mathbb{R}\). (1,5 pt)
4. Calculer l'intégrale \(J = \int_{0}^{2} h(x)\mathrm{d}x\). (1,5 pt)

Exercice 3 (10 points)

Soit la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 2x - 3}\).

\((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\). (1 pt)
2. Déterminer les limites aux bornes de \(D_f\). (1,5 pt)
3. Préciser les asymptotes à la courbe \((C)\) de \(f\). (1 pt)
4. Montrer que la fonction dérivée \(f'\) de \(f\) est définie par : \(f'(x) = \frac{2x^2 - 6x}{(x^2 + 2x - 3)^2}\). (1,5 pt)
5. Déterminer le signe de \(f'(x)\) sur \(D_f\) puis dresser le tableau de variations de \(f\). (2 pts)
6. Donner une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point d'abscisse \(-\frac{3}{2}\). (1 pt)
7. Tracer les asymptotes, la tangente \((T)\) et la courbe \((C)\) de \(f\) dans le repère. (2 pts)