UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/3 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fann-S´en´egal Serveur Vocal : 628 05 59 T´el´efax (221) 33 864 67 39 - T´el. : 824 95 92 - 824 65 81 01 G 18 Bis A18 4 heures S´erie S1-S3 Coef 8 . . Epreuve du1 er groupe M A T H E M A T I Q U E S Les calculatrices ´electroniques non imprimantes avec entr´ee unique par clavier sont autoris´ees. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou d es trac´es de courbe sont interdites. Leur utilisation sera consid´er´ee comme une fraude.(CF.C irculaire n 0 5990/OB/DIR. du 12 08 1998) Exercice 1(4points).Le t´el´ephone portable de Babou contient en m´emoire un r´epertoire de 1500 chansons dont 700 dans la cat´egorie mbalax, 100 dans la cat´egorie zouk, 200 dans la cat´egorie techno et 500 dans la cat´egorie taxourane. Une desfonctionnalit´es du t´el´ephone permet d’´ecouter de la musique en mode≪lecture al´eatoire≫: Les chansons ´ecout´ees sont choisies au hasard et de fa¸con ´equiprobable. 40% des chansons du r´epertoire sont interpr´et´ees en S´er`ere et 28% des chansons de la cat´egorie mbalax sont interpr´et´ees en S´er`ere. Au cours de son footing journalier, Babou ´ecoute une chanson grˆace `a ce mode de lecture. On note : Ml’´ev´enement :≪La chanson ´ecout´ee est de la cat´egorie mbalax.≫ Sl’´ev´enement :≪La chanson ´ecout´ee est interpr´et´ee en S´er`ere.≫ 1.Calculerp(M). 0.75pt 2. a.D´eterminerp(S) etp(S/M). 2×0.25pt b.Calculer la probabilit´e que la chanson ´ecout´ee soit une chanson dela cat´egorie mbalax interpr´et´ee en S´er`ere. 1pt c.Calculerp(M/S). 0.75pt 3.En fait, Babou ´ecoute de cette mˆeme fa¸con al´eatoire une chanson de son r´epertoire lors de son footing le matin, `a la prise du petit d´ejeuner, sur le chemin del’´ecole, au d´ejeuner et le soir avant d’aller au lit. Son cousin Bachir, fin math´ematicien, lui dit qu’il a [496×(0.4) 3 ] % de chances d’´ecouter au moins trois chansons S´er`ere `a la fin de la journ´ee. Dire en le justifiant si Bachir a raison ou pas. 1pt Exercice 2(5points).Le plan complexePest muni d’un rep`ere orthonormal direct (O, −→ u , −→ v). On consid`ere l’applicationfdePdansPqui `a tout pointMd’affixezassocie le pointM ′ d’affixez ′ telle quez ′ = e i|z| z. 1.D´eterminer les affixes des pointsA ′ etB ′ images respectives parfdu pointAd’affixeπ et du pointBd’affixe 2π. 2×0.5pt 2.Montrer qu’un pointMest invariant parfsi et seulement s’il existe un entier naturelk tel queOM= 2kπ. En d´eduire l’ensembleEdes points invariants parf. 2 ×0.5pt 3.SoitCle point d’affixe 1 +i √ 3 et ∆ la demi-droite d’origineOpassant parCet ne contenant pas le pointO(Demi-droite ouverte ]OC)),Mun point de ∆ d’affixezet d’image M ′ parf. D´eterminer|z|pour queMetM ′ soient sym´etriques par rapport l’axe (O, −→ u). 0.5pt
2 01 G 18 Bis A18 MATHEMATIQUES 2 / 3 S´erie S1-S3 Epreuve du1 er groupe 4.Pour toutk∈N ∗ , on noteCkle cercle de centreOet de rayon 2kπ,Dkla couronne d´elimit´ee par les cerclesCketCk+1etakl’aire de la couronneDk. a.Calculerak. 0.5pt b.D´eterminer la nature de la suite (an)n∈N ∗. 0.5pt c.Calculer la limite de la suite (an)n∈N ∗. 0.5pt 5.Soitk∈N ∗ . a.D´eterminer les points de ∆∩Dkqui sont sym´etriques avec leur image par rapport `a l’axe (O, −→ u). 0.5pt b.Montrer que tout point deDka son image parfdansDk. 0 .5pt PROBLEME (11 points). Partie A (3points) 1.R´esoudre l’´equation diff´erentielley ′ +y= 0. 0.5pt Soitϕune application d´erivable deR ∗ + dansR, et soitgl’application num´erique d´efinie sur R ∗ + parg(x) =ϕ(x)e x . 2. a.V´erifier quegest d´erivable en tout pointxdeR ∗ + et d´emontrer que, pour queϕv´erifie ∀x∈R ∗ +, ϕ ′ (x) +ϕ(x) =− 1 x −lnx,(1) il faut et il suffit quegsoit une primitive de l’applicationx7→ −e x lnx− e x x . 0 .5 + 1pt b.Quel est l’ensemble des primitives de la fonctionx7→ −e x lnx− e x x ? 0 .5pt 3.En d´eduire que l’ensemble des applications d´erivables deR ∗ + dansRv´erifiant (1) est l’ensemble des applicationsx7→ae −x −lnxo`uad´esigne une constante r´eelle. 0.5pt Partie B (5.25points) Soitfl’application deR ∗ + dansRd´efinie par :∀x∈R ∗ + , f(x) =e 1−x −lnx. 1. a.Etudier les variations defet construire sa repr´esentation graphique dans un rep`ere orthonorm´e. 0.75 + 0.25pt D´emontrer que l’´equationf(x) = 0 admet une solution uniquecet quec∈]1,2[. 0.5 + 0.25pt b.Calculer lim x7→0 + xf(x). 0.25pt c.Soitxun ´el´ement de l’intervalle ]0,1]. Calculer l’int´egraleF(x) = Z 1 x f(t)dten fonction dex. 0 .5pt Montrer que lorsquextend vers 0,F(x) tend verse. 0 .25pt 2.Soitnun entier sup´erieur ou ´egal `a 2.
01 G 18 Bis A18 MATHEMATIQUES 3 / 3 S´erie S1-S3 Epreuve du1 er groupe3 a.Montrer que, pour tout entierktel que 1≤k≤n−1 et pour tout r´eelttel que k n ≤t≤ k+ 1 n , on a :f ` k+ 1 n ´ ≤f(t)≤f ` k n ´ . 0.25pt b.Montrer alors que 1 n n X k=2 f ` k n ´ ≤F ` 1 n ´ ≤ 1 n n−1 X k=1 f ` k n ´ , 0 .5pt En d´eduire queF ` 1 n ´ + 1 n ≤ 1 n n X k=1 f ` k n ´ ≤F ` 1 n ´ + 1 n f ` 1 n ´ . 0 .25pt 3. a.D´eduire des questions pr´ec´edentes que, lorsquentend vers l’infini, 1 n n X k=1 f ` k n ´ admet une limite et calculer cette limite. 0.5pt b. ´ Etablir les ´egalit´es : 1 n n X k=1 e (1−k/n) = (e−1) 1 n(e 1/n −1) et 1 n n X k=1 ln ` k n ´ = 1 n ln ` n! n n ´ 2×0.25pt c.Utiliser les r´esultats pr´ec´edents pour d´emontrer que les deuxsuites d´efinies par : un= 1 n ln ` n! n n ´ etvn= n n √ n! . ont des limites lorsquentend vers l’infini et calculer ces limites. 2 ×0.25pt Partie C (2.75points) 1. a.D´eterminer le sens de variation def ′ dans l’intervalle [1,2]. 0.5pt SoitPl’application deR ∗ +dansRd´efinie par :∀x∈R ∗ +, P(x) =x− f(x) f ′ (1) . b.Etudier les variations dePdans l’intervalle [1,2].Montrer quePr´ealise une bijection de [1, c] sur un intervalleJcontenu dans [1, c]. 0.5 + 0.25pt En d´eduire que l’on d´efinit bien une suitecnd’´el´ements de [1, c] en posantc0= 1 et pour tout entier natureln, cn+1=P(cn). 0.25pt 2. a.Montrer que pour toutx∈[1,2],0≤P ′ (x)≤P ′ (2)≤ 7 12 . 0 .25pt b.En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis, v´erifier que pour tout entiern, |cn+1−c| ≤ 7 12 |cn−c|. 0.5pt En d´eduire que la suite (cn) est convergente et d´eterminer sa limite. 0.25pt c.Quelle valeur suffit-il de donner `anpour quecnsoit une valeur approch´ee dec`a 10 −2 pr`es ? 0.25pt