UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/3 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fann-S´en´egal Serveur Vocal : 628 05 59 T´el´efax (221) 33 864 67 39 - T´el. : 824 95 92 - 824 65 81 16 G 18 Bis A01 4 heures S´erie S1-S3 Coef 8 . . Epreuve du1 er groupe M A T H E M A T I Q U E S Les calculatrices ´electroniques non imprimantes avec entr´ee unique par clavier sont autoris´ees. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou d es trac´es de courbe sont interdites. Leur utilisation sera consid´er´ee comme une fraude.(CF.C irculaire n 0 5990/OB/DIR. du 12 08 1998) Exercice 1(4points). Le plan orient´ePest rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct − O, −→ u , −→ v . On noteEl’ensemble des points dePdont l’affixezv´erifie : j z 2 +j z 2 − 10 3 zz+ 192 = 0 etfl’application dePdans lui-mˆeme associant `a tout pointMd’affixezle pointM ′ d’affixe z ′ = 1 3 j 2 zavecj= −1 +i √ 3 2 . On rappelle quej= e 2iπ/3 ,|j|= 1 =j 3 =jj. 1.Montrer quefest une similitude plane directe dont on donnera les ´el´ements g´eom´etriques caract´eristiques. 0.5pt 2. a.V´erifier qu’un pointM ′ d’affixez ′ appartient `af(E) si et seulement si 3z ′ 2 + 3z ′ 2 −10z ′ z ′ + 64 = 0 Montrer alors que l’´equationx 2 + 4y 2 = 16 est une ´equation cart´esienne def(E). 0.5 + 0.5pt b.Montrer queEest une conique dont on pr´ecisera les sommets, les foyers, les directrices et l’excentricit´e. 1pt 3.Repr´esenter graphiquementf(E),E,leurs foyers, leurs directrices et leurs axes. 1.5pt Exercice 2(5points). n´etant un entier naturel non nul, on place dans une urnenboules rouges, 8+nboules noires et 20 boules blanches. Un joueur tire une boule de l’urne ; on suppose tous les tirages ´equiprobables. S’il tire une boule rouge, il perd. S’il tire une boule noire, il gagne. S’il tire une boule blanche, il remet cette boule dans l’urne et effectueun nouveau tirage, toujours avec ´equiprobabilit´e. S’il tire alors une noire, il gagne sinon il perd. 1. a.D´emontrer que la probabilit´e que ce joueur a de gagner estf(n) o`ufest l’application deR ∗ + dansRtelle quef(x) = (x+ 8)(x+ 24) 2(x+ 14) 2 . 0.75pt b.D´eterminer l’entiernpour que cette probabilit´e soit maximale. Calculer alors cette probabilit´e. 0.5 + 0.25pt c.D´eterminer l’entiernpour que cette probabilit´e soit minimale. Calculer alors cette proba- bilit´e. 0.5 + 0.25pt
2 16 G 18 Bis A01 MATHEMATIQUES 2 / 3 S´erie S1-S3 Epreuve du1 er groupe 2.Dans cette question, on suppose quen= 16. Pour jouer, le joueur a mis´e 8 unit´es mon´etaires. petq´etant des entiers naturels tels quep > q >8, s’il gagne `a l’issue du premier tirage, on lui remetpunit´es mon´etaires et s’il gagne `a l’issue du deuxi`eme tirage, on lui remetqunit´es mon´etaires. S’il perd il ne re¸coit rien. SoitXla variable al´eatoire ´egale au gain alg´ebrique du joueur. a.D´eterminer la loi deXen fonction depetqainsi que son esp´erance math´ematique. 0.75 + 0.5pt b.On suppose quepetqsont tels que le jeu est ´equitable c’est `a dire l’esp´erance math´ematique du gain alg´ebrique est nulle. Montrer alors que 3p+q= 60. D´eterminer les couples (p, q) possibles pour que le jeu soit ´equitable. 0.25 + 0.5pt c.Pourp= 16 etq= 12, calculer l’esp´erance math´ematique et l’´ecart typeX. 0.25 + 0.5pt PROBLEME (11 points). Partie A : Introduction d’une suite(un)n∈N ∗ 1. a.Montrer que∀x∈R ∗ + ,lnx≤x−1. En d´eduire que∀k∈N ∗ , Z k+1/2 k−1/2 ln x k dx≤0. 2×0.5pt b.Prouver alors que :∀n∈N ∗ , Z n+1/2 1/2 lnx dx−ln(n!)≤0. 0.75pt c.Montrer que∀n∈N ∗ ,ln(n!) +n− ı n+ 1 2 ≡ ln ı n+ 1 2 ≡ −ln √ 2≥0 0 .5pt 2.Soitgetfles fonctions num´eriques d´efinies surI= [0,1[ par g(x) = 1 1−x 2 f(x) = 1 x Z x 0 g(t)dtsix6= 0 etf(0) = 1 a.Dresser le tableau de variations deg. 0.5pt b.Montrer que∀x∈]0,1[,1≤f(x)≤g(x).(On pourra au besoin appliquer le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonctionu h 7−→ Z u 0 g(t)dtdans l’intervalle [0, x] ou utiliser la valeur moyenne de la fonctiongsur l’intervalle [0, x].) fest-elle continue en 0 ? 0.5 + 0.25pt c.Montrer qu’il existe deux r´eelsaetbtels que∀t∈I, g(t) = a 1−t + b 1 +t . En d´eduire que∀x∈]0,1[, f(x) = 1 2x ln 1 +x 1−x . 2 ×0.25pt 3.Soit (un) la suite d´efinie surN ∗ par : un= ln(n!) +n− ı n+ 1 2 ≡ lnn a.V´erifier que∀n∈N ∗ , un+1−un= 1−f ı 1 2n+ 1 ≡ ; en d´eduire le sens de variation de la suite (un). 0.5 + 0.25pt b.Montrer que∀n∈N ∗ , un≥ln √ 2. 0.5pt
16 G 18 Bis A01 MATHEMATIQUES 3 / 3 S´erie S1-S3 Epreuve du1 er groupe3 c.Montrer que la suite (un) est convergente. 0.25pt Partie B : Dans cette partie, on se propose de trouver la limite de la suite(un). On admettra que si une suite (αn) a pour limiteℓ, alors la suite (α2n) a aussi pour limiteℓ. Soit (vn) la suite d´efinie par :v0= π 2 et∀n∈N ∗ , vn= Z π/2 0 sin n t dt 1. a.Calculerv1. Montrer que la suite (vn) est d´ecroissante et positive. 3×0.25pt b.En int´egrant par parties, prouver que (E) :∀n∈N, vn+2= n+ 1 n+ 2 vn. 0.75pt c.Montrer que∀n∈N, n+ 1 n+ 2 ≤ vn+1 vn ≤1 et calculer alors lim n7→+∞ vn+1 vn . 2×0.25pt d.D´emontrer que la suite (an) d´efinie par ∀n∈N, an= (n+ 1)vn+1vn est constante (Indication : On pourra calculer an+1 an ). D´eterminer cette constante. 2×0.25pt e.V´erifier que∀n∈N, nv 2 n = n n+ 1 an vn vn+1 . En d´eduire que lim n7→+∞ nv 2 n = π 2 . 2×0.25pt 2.Pour tout entier natureln, on posebn=v2n a.Quelle est la limite de la suite (n b 2 n)? 0.25pt b.En utilisant la relation (E), d´emontrer par r´ecurrence que∀n∈N, bn= (2n)! 2 2n (n!) 2 π 2 . 0.75pt 3. a.Montrer que∀n∈N ∗ ,e un =n! ı e n ≡ n1 √ n . 0.5pt b.D´eterminer une constanteAtelle que pour tout entier naturelnnon nul : e u2n−2un =A p nb 2 n; en d´eduire les limites des suites (un) et − e un . 0 .5 + 2×0.25pt