Mathématiques S2 - 2015

1/3 Pays:Sénégal Année:2015 Session:normale, 1 er Groupe Série:BAC, série S2 Durée:4 h Coefficient:5 Exercice1 Les questions1.,2.et3.decetexercicesontfaiteschacunedequatreaffirmations. Direpourchacunede cesaffirmations sielleetvraieoufausse. 1.L’évènementcontrairede«AsachantB »est : a)Asachant B b) A sachantB c)AsachantB d)A B. 2.SoientEetFdeuxévénementsindépendantsd’unmêmeespaceprobabilisé,ona: a)p(E/F) =0 b)E F E F Fp p p p   c)E F 0p  d)p(E/F) =1. 3.UnevariablealéatoireXsuituneloibinomialedeparamètresnetpoùn= 4etp]0;1[. a)Si 1 , 2 palorsp(X = 2) = 2p(X = 1). b)Si 1 , 4 palorsp(X = 3) 1 . 4 c)Si 1 , 2 palorsp(X1) = 1. d) Sip(X = 1) = 8p(X = 0), alors 2 . 3 p 4.Le plan (P) est rapporté au repère orthonorméO ; , .u v   A et B sont deux points du plan (P) d’affixes respectiveszAetzB. Considérons M et M' deux points du plan (P) distincts de A et B. Notonszetz' les affixes respectives de M et M'. Interpréter géométriquement les résultats ci-dessous: a) A 1z z  b) A B z z z z   c) A B 'z z z  d)  A A B B ' arg arg . ' z z z z z z z z                 Exercice2 1.Soit 3 2 3 3 5 20 , .p z z z z i z       a) Démontrerque2+iestuneracinedep(z). b) Endéduireles solutionsdel’équationp(z) =0dans. 2.Dansleplan(P)rapportéaurepèreorthonormédirectO ; ,u v   d’unité1cm,on considère lespointsA,BetCd’affixes respectives 2+i,−1–2iet−4+i. a) Placer lespointsA,BetCpuis calculer lesdistancesABetBC. b)Démontrer que  C B A B arg BA, BC . z z z z           c) Endéduireunemesureenradiandel’angleBA, BC .  

2/3 d) DéduiredetoutcequiprécèdelanaturedutriangleABC. 3.Soitrlarotationqui laisseinvariantlepointBetqui transformeAenC. a)Montrerquel’applicationfassociéeàrestdéfiniepar:f(z) =iz–3–i. b) Préciser lesélémentsgéométriquescaractéristiquesder. 4.SoitT:M M' 'z z telle que 2 ' , .z i z    a) Déterminer lesvaleursdeαpour lesquellesTestunehomothétiederapport2. b) Déterminer lesélémentsgéométriquescaractéristiquesdeTpourlenombre complexe vérifiant 2 et arg . 4       5.Onconsidèrelatransformationg=roT.Onsupposedanscequi suitque=1–i. a)Montrerquel’applicationhassociéeàgestdéfiniepar:h(z) =2iz–2. b)Donner lesélémentsgéométriques caractéristiquesdeg. Exercice3 AuSénégal,uneentrepriseveutvérifierl’efficacitédesonservicedepublicité.Ellearelevé chaquemoisdurantunepériodede6moislessommesX consacréesàlapublicitéetle chiffred’affairesconstatéY(XetYsontenmilliardsdeFCFA). On donne le tableau ci-dessous: Rang du mois1 2 3 4 5 6 X 1,2 0,51 1 1,51 , 8 Y 1 9 4 9 100125 148 181 Les résultatsserontdonnésaucentièmeprès. Ledétaildescalculsn’estpas indispensable. Onpréciseralesformulesutilisées. 1.Calculer lecoefficientdecorrélationlinéairedeXetY. 2.a) Déterminer l’équationdeladroitederégressiondeYenX. b)Déterminerlasommequ’ilfautinvestirenpublicitésil’ondésireavoirunchiffre d’affairesde300milliardssi cettetendancesepoursuit. Exercice4 A)1.Enutilisantuneintégrationparparties,calculerpourtoutnombreréelα:  0 I 2 . t e t dt     En déduire I(x). 2.Soitkunefonctiondérivablesur.Considéronslafonctionhtelleque , . x h x k x e x      Onseproposededéterminerlafonctionhdefaçonàcequ’ellevérifieles conditionssuivantes, ,x    ' 2 . 0 2 h x h x x h        a)Vérifierque:' 2 . x k x x e  b)Endéduirekpuish.

3/3 B)I)1.Étudierlesvariationssurdelafonctiongdéfiniepar:1 . x g x x e     2.Endéduirequeg(x)eststrictementpositif. II)Soitla fonctionfdéfiniesurpar: ln 1 . x f x x e     (Cf)estsacourbereprésentativedansleplanrapportéàunrepèreorthonorméO ; , .i j   1.Étudierlesvariationsdefpuisdressersontableaudevariations. 2.Pourtoutxstrictementpositif,onnoteM,lepointdelacourbedelafonction logarithmenépériend’abscissexetNle pointde(Cf)demêmeabscisse. a)Démontrerque0MN 2 ln . x x       b)Quelle est la limite deMNquandxtend vers +? 3.a)Démontrerque: ,x   ln 1 . x x f x x xe e     b)Endéduireque(Cf)admet uneasymptoteoblique()auvoisinagede−etdéterminer la positionde(Cf)parrapportà()pourx<−1. 4.Construire(Cf)et()dansle repèreO ; , .i j  