1/3 Pays:Sénégal Année:2014 Session:normale, 1 er Groupe Série:BAC, série S2 Durée:4 h Coefficient:5 Exercice 1 A)Questions de cours 1.Rappeler les formes algébrique, exponentielle et trigonométrique d’un nombre complexez non nul. 2.Donnerl’écriture complexe de la rotationrde centre K(z0) et d’angle θ. B)On donne 0 1 3.z i 1.Donner une écriture trigonométrique dez0. 2.Montrer que : 4 0 8 8 3.z i 3.Résoudre dansl’équationz 4 =1. 4.En déduire les solutions de (E) : 4 8 8 3z i sous la forme algébrique et sous forme trigonométrique. On peut remarquer que (E) équivaut à 4 1. 1 3 z i 5.Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal directO ; , ,u v unité graphique 2 cm, placer les points A, B, C et D d’affixes respectives 1 3, 1 3, 3 et 3 . A B C D z i z i z i z i 6.Donner une écriture complexe de la rotationrde centre O et d’angle. 2 7.Vérifier que :r(A) = C ;r(C) = B etr(B) = D. 8.En déduire que les points A, B, C et D sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Exercice 2 Une boîte contient 8 cubes indiscernables au toucher dont un rouge numéroté 1, trois rouges numérotés 2,deux verts numérotés 1, un vert numéroté 2 et un jaune numéroté 2. A)Question de cours Rappeler la définition de deux événements indépendants d’un espace probabilisé(Ω,P(Ω),p). B)Un enfant choisit au hasard et successivement sans remise deux cubes dela boîte. On admettra que la probabilité de choisir un cube est indépendante de son numéro et de sa couleur. 1.On note : A l’événement : « Obtenir des cubes de couleurs différentes » B l’événement : « Obtenir auplus un cube portantle numéro2. » a)Calculer la probabilité de A. b)Vérifier que la probabilité de B est égale à 9 . 14 c)Les événements A et B sont-ils indépendants ? 2.Soit X la variable aléatoire égale au nombre de cubes rouges tirés par l’enfant. a)Déterminer la loi de probabilité de X. b)Calculer l’espérance mathématique de X. c)Calculer la variance de X. C)L’enfant tire cette fois simultanément trois cubes de la boîte.
2/3 1.Déterminer la probabilité de l’événement C : «Obtenir au plus un cubeportant le numéro 2.» 2.L’enfant répètenfois l’expérience, en remettant dans la boîte les cubes tirés avant de procéder au tirage suivant. On notepnla probabilité de l’évènement Dn: « Cest réalisé au moins une fois. » Exprimerpnen fonction den. 3.Étudier le sens de variation de la suite nn p et calculer la limitedepnlorsquentend vers +∞. Problème Les parties A et B ne sont pas indépendantes. Partie A Soitgla fonction définie dans ]0;+∞[ par : ln 1. 1 x g x x x 1.a)Déterminer l’ensemble de définition Dgdeg. b)Calculer les limites degaux bornes de Dg. (Pour la limite au voisinage de 1, on pourra poser:h=x–1). 2.Déterminerg', la fonction dérivée deg, et dresser le tableau de variations deg. 3.Montrer que l’équationg(x) = 0 admet une unique solution α telle que: 4 < α < 5. 4.Déduire de l’étude précédente le signe degsur Dg. Partie B On considère la fonctionfdéfinie par : ln 1 , x f x x six0 2 6 , si 0. 3 2 x x x e f x x e e 1.a)Vérifier quefest définie sur\ 1 et calculer les limites defaux bornes de son ensemble de définition. b)Préciser les droites asymptotes à(Cf), la courbereprésentative defdans un repère orthonormal. 2.a)Étudier la continuité defen 0. b)On admet que la limite de 2 ln 1x x x lorsquextend vers 0 + est égale à 1 . 2 Montrer que la limite de 0 0 f x f x lorsquextend vers 0 − est égale à 1 . 6 Donner l’interprétation graphique de ces résultats. 3.a)Montrer que 1 . 1 f b)Calculerf'(x) sur les intervalles oùfest dérivable puis dresser le tableau devariations def. 4.Construire(Cf)dans un repère orthonorméO ; , ,i j unitégraphique2 cm. On pourra prendre: α4,5. On placera les points d’abscisses–1 ; 0 ; 2 et 5.
3/3 5.a)Déterminer les nombres réelsaetbtels que pour tout \ 2 ; 1 ,x on ait: 2 6 . 3 2 2 1 x a b x x x x b)En déduire que : 2 6 12 6 . 3 2 1 2 1 x x x x x x x e e e e e e e c)Calculer l’aire du domaine du plan limité par(Cf),l’axe des abscisses et les droitesd’équations respectivesx=−ln2 etx= 0.