Mathématiques – BFEM 2023

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BREVET DE FIN D'ÉTUDES MOYENNES (B.F.E.M.)

SESSION NORMALE - PREMIER GROUPE D'ÉPREUVES

ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES

Durée : 2 heures - coefficient : 3

Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou tracés de courbes sont interdites, leur utilisation sera considérée comme une fraude.

Exercice 1 : 7,5 points

Pour chacune des questions dans le tableau ci-dessous, trois réponses A, B et C sont proposées dont une seule est correcte. Pour répondre, tu porteras sur ta copie, le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.

Chaque réponse correcte est notée 0,75 point. Une réponse fausse ou une absence de réponse est notée 0 point.

N° Questions Réponse A Réponse B Réponse C
1 Quelle est la valeur du réel \(\frac{5}{6}\sqrt{\frac{36}{5}}\) ? \(\frac{1}{6}\sqrt{36}\) \(\sqrt{6}\) \(\sqrt{5}\)
2 Quels sont les réels qui vérifient l'équation \(\sqrt{(2x+7)^2} = |5-2\sqrt{3}|\) ? \(-1-\sqrt{3}\) et \(-6+\sqrt{3}\) \(1-\sqrt{3}\) et \(6+\sqrt{3}\) \(1+\sqrt{3}\) et \(6-\sqrt{3}\)
3 Quelle est l'aire latérale en cm² d'un cône de révolution de rayon de base \(r = 2\sqrt{2}\) cm et de génératrice \(g = \sqrt{18}\) cm ? \(12\pi\) \(4\sqrt{6}\pi\) \(36\sqrt{2}\pi\)
4 On considère la série statistique de notes suivante : 17 ; 9 ; 11 ; 6 ; 13 ; 18 ; 13 ; 15 ; 14 ; 13. Quelle est la note médiane ? 14 13 15
5 Soit \(ABC\) un triangle tel que \(\widehat{CAB} = 55°\) et \(\widehat{CBA} = 80°\). Soit \(O\) le centre du cercle circonscrit au triangle et \(P\) le point diamétralement opposé à \(B\). Quelle est la mesure de l'angle \(\widehat{AOB}\) ? 90° 45° 55°
6 Quelle est l'expression littérale de l'application affine \(g\) telle que \(g\left(\frac{1}{2}\right) = 2\) et \(g(1) = 1\) ? \(2x + 3\) \(-2x - 3\) \(-2x + 3\)
7 Quel est le vecteur égal à \(\vec{U} = \vec{GA} - \vec{EM} - \vec{GF} + \vec{EF} + \vec{AM}\) ? \(\overrightarrow{2AE}\) \(\vec{O}\) \(\frac{1}{2}\vec{AE}\)
8 Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\) et de hauteur \(h\). Quelle est la valeur de la hauteur \(h\) ? \(a\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(a\sqrt{3}\) \(a\frac{\sqrt{2}}{3}\)
9 Quel est l'ensemble des solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'inéquation \((3-x)(2x+3) > 0\) ? \(\left[-\frac{3}{2}, 3\right]\) \(\left]-\frac{3}{2}, 3\right[\) \(\left\{-\frac{3}{2}, 3\right\}\)
10 Soit \(ABC\) un triangle inscrit dans un cercle de centre \(O\) tel que \(\widehat{OAC} = 55°\). Quelle est la mesure de l'angle \(\widehat{ABC}\) ? 55° 110° 35°

Exercice 2 : 5,5 points

  1. Écris l'expression \(E = \sqrt{(3-3\sqrt{2})^2 + \sqrt{50} - 7\sqrt{32} + \sqrt{9}}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(a\) et \(b\) des entiers relatifs, \(b\) positif.

    1 pt

  2. On pose \(p = \frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}\) et \(q = \frac{1}{6\sqrt{3}-10}\).

    Montre que \(p\) et \(q\) sont des inverses.

    1,5 pt

  3. On considère les réels \(x\) et \(y\) tels que \(x = 6\sqrt{3} - 10\) et \(y = \sqrt{208 - 120\sqrt{3}}\).

    1. Détermine le signe de \(x\).

      1 pt

    2. Calcule \(x^2\). Déduis-en une écriture simplifiée de \(y = \sqrt{208 - 120\sqrt{3}}\).

      0,5 pt + 0,5 pt

    3. Encadre le réel \(x\) à \(10^{-2}\) près sachant que \(1,732 < \sqrt{3} < 1,733\).

      1 pt

Exercice 3 : 7 points

La figure SMNOP ci-contre représente une pyramide à base rectangulaire MNOP, de hauteur \([SM]\).

On donne : \(SM = 7,5\) cm ; \(MN = 4\) cm et \(NO = 5,5\) cm.

  1. Calcule le volume \(V_1\) de la pyramide SMNOP.

    1 pt

  2. Montre que \(SN = 8,5\) cm.

    0,5 pt

  3. Soit \(I\) un point de \([SM]\) tel que \(SI = 6\) cm et \(J\) celui de \([SN]\) tel que \(SJ = 6,8\) cm.

    1. Montre que les droites \((IJ)\) et \((MN)\) sont parallèles.

      1 pt

    2. Calcule la longueur \(IJ\).

      0,5 pt

  4. Le plan passant par \(I\) et parallèle à la base de la pyramide SMNOP coupe les segments \([SO]\) et \([SP]\) respectivement aux points \(K\) et \(L\).

    Calcule le volume du solide SIJKL.

    1 pt

  5. Un menuisier métallique veut fabriquer un récipient pour servir d'unité de mesure d'un produit céréalier qu'on doit distribuer aux populations d'une commune. Ce récipient est représenté par le solide IJKLMNOP à l'échelle de \(\frac{1}{5}\).

    1. Sachant qu'un kg de ce produit occupe un volume de 1400 cm³, détermine à 1g près par défaut la quantité maximale en grammes de ce produit que peut contenir ce récipient.

      2 pts

    2. Le menuisier souhaiterait inscrire le nom de la commune sur la face MNJI du récipient. Pour cela, il doit d'abord couvrir cette face avec de la feuille d'aluminium lisse. Sachant que 10 cm² de feuille d'aluminium lisse coûtent 150 francs, Calcule la dépense minimale en feuille d'aluminium lisse.

      1 pt

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