+ UNIVERSITÉ CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/3 2024GS21NA0124 Durée : 4 heures OFFICE DU BACCALAUREAT Séries : S1-S1A-S3 – Coef. 8 E-mail : office@ucad.edu.sn site web : officedubac.sn Epreuve du 1 er groupe
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EXERCICE 1 : (04 points) Dans l’espace, on considère 8 points �,�,�,�,�,�,� et � tels que �������� soit un cube d’arête une unité. L’espace est muni du repère orthonormé (� ;�� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,��,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ��⃗⃗⃗⃗⃗ ). 1. Donner les coordonnées des points �, �, � et �. 1 pt 2. a) Déterminer les coordonnées du vecteur �� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ �� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 0,5 pt b) En déduire une équation cartésienne du plan (���). 0,25 pt 3. Montrer que la droite (��) est perpendiculaire au plan (���). 0,25 pt 4. Déterminer les coordonnées du point � intersection de la droite (��) et du plan (���). 0,5 pt 5. Calculer alors le volume du tétraèdre ����. 0,5 pt
6. On note (�) et (�’) respectivement les plans médiateurs de [��] et de [��] et on note � et �’ les réflexions par rapport respectivement aux plans (�) et (�’). a) Déterminer (�′∘�)(�). 0,5 pt b) Démontrer que �′∘� est une rotation d’axe (��). 0,25 pt c) Soit �� son angle, déterminer |��|. 0,25 pt
EXERCICE 2 : (05 points) 1. On considère les nombres �=57370 et �=104275 a) Déterminer le PGCD de � et �. 0,5 pt b) L’équation ��+��=5 admet-elle des solutions dans ℤ×ℤ ? 0,25 pt 2. Soit (E) l’équation : 11474�+20855�=1. a) Vérifier que le couple (3059 ,−1683) est solution de l’équation (E). 0,25 pt b) Résoudre dans ℤ×ℤ l’équation (E). 0,5 pt c) En déduire les solutions dans ℤ×ℤ de l’équation ��+��=5. 0,5 pt 3. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse : 0,25 pt×�=1 pt �� � : Dans la base �� où �� est un entier naturel supérieur ou égal à 2, ��−1 est un chiffre. �� � : Dans la base 7, 8 est un chiffre. �� � : Dans la base 16, � est un chiffre. �� � : Dans la base 8, les chiffres sont : 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7.
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4. Deux commerçantes Anta et Fatou se rendent au marché pour acheter des articles. Un article coûte 5 francs l’unité. Anta et Fatou disposent respectivement d’un montant de �� 1 et de �� 2 en francs. On sait que �� 1=1�00�2 en base huit, et �� 2=�1�003 en base sept. a) Donner, en fonction de � et � les expressions de �� 1 et de �� 2 en base dix. 0,5 pt b) Déterminer les chiffres � et � pour que chacune des deux commerçantes puisse dépenser tout le montant à sa disposition. 1 pt c) En déduire le nombre d’articles que chacune d’elles pourra acheter. 0,5 pt
PROBLEME (11 points) PARTIE A ( 5,5 points) Soit �� un entier naturel. On considère la fonction � �� définie par : � ��(�)=� (�� + 1 2 )�� ×√2 −� ��
On note � �� la courbe représentative de � �� dans le plan muni d’un repère orthonormé (� ;� ⃗ , �⃗⃗ ). L’unité graphique est � cm. 1. Déterminer le domaine de définition de � ��, puis calculer les limites aux bornes de cet ensemble. 0,75 pt 2. Montrer que toutes les courbes � �� passent par deux points fixes que l’on déterminera. 0,5 pt 3. Etudier les positions relatives des courbes � ��+1 et � �� pour ��∈ℕ. 0,5 pt 4. Etudier les variations de � �� . 0,5 pt 5. Montrer que � �� admet un maximum � �� puis exprimer � �� en fonction de ��. 0,5 pt 6. Dresser le tableau de variations de � �� . 0,5 pt 7. Tracer les courbes � 1, � 2 et � 3. 1,5 pt 8. Soient (� ��) et (� ��) les suites définies pour tout ��∈ℕ par : � ��=ln( 2�� + 1 �� + 1 ) et � ��=� ��(� ��). a) Déterminer la limite de � ��. 0,25 pt b) Calculer la limite de ln(� ��) et en déduire celle de � ��. 0,5 pt
PARTIE B (3,25 points) Soit �� la fonction définie sur ]0 ,2[ par : ��(�)=√�(2−�) 1. Montrer que ��(� �� )=� 0(�). 0,25 pt 2. Soit � la fonction définie sur l’intervalle ]0 ,2[ par : �(�)=ln(��(�)). a) Soit � un réel de l’intervalle ]0 ,2[. Résoudre dans ]0 ,2[ l’équation �(�)=�(�). 0,5 pt b) En déduire que la courbe � �� de la fonction � dans le repère (� ;� ⃗ , �⃗⃗ ), est invariante par une transformation que l’on déterminera. 0,25 pt 3. Etudier les variations de �. 0,5 pt 4. Tracer � ��. 0,5 pt
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PARTIE C (2,25 points) Pour tout entier naturel ��, on considère la fonction �� �� définie sur [0 ,2] par : �� 0(�)=√�(2−�) et ∀��∈ℕ ∗ �� ��(�)=� �� √�(2−�) . On désigne par � �� la fonction définie de l’intervalle [− �� 2 , �� 2 ] dans ℝ par : � ��(��)=∫ �� ��(�) 1 + sin�� 0 ��.
1. Justifier l’existence de � ��(��) pour tout entier naturel �� et pour tout réel �� de l’intervalle [− �� 2 , �� 2 ]. 0,25 pt 2. Démontrer que pour tout entier naturel ��, � �� est dérivable sur l’intervalle [− �� 2 , �� 2 ] et déterminer sa fonction dérivée � �� ′ . 0,5 pt
3. Déterminer � 0(��) et � 1(��) pour ��∈[− �� 2 , �� 2 ]. 0,5 pt
4. Calculer l’aire �� du domaine plan �� défini par : �� ={��(�,�) tels que 0≤�≤1 et �� 1(�)≤�≤�� 0(�)}. 0,5 pt
5. Dans le plan muni du repère orthonormé (� ;� ⃗ , �⃗⃗ ), on note (Γ 0) la courbe de la fonction �� 0 et (Γ′ 0) la courbe d’équation : �=−�� 0(�). On pose (Γ)=(Γ 0)∪(Γ′ 0). Montrer que (Γ) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 0,5 pt